Банк не дает возможности внести средства на карту

О каком городе идет речь?

Наличными можно пополнить через депозитный атм. Крыглосуточные банкоматы для пополнения находятся не только в центре но и в других районах города —
www.aval.ua/finlokator/
Насчитал около 13 шт

Да, если карта заблочена подойдут только кассы или безналичный перевод на реквизиты счёта. Это может сделать не только клиент, а любое 3-ее лицо
Другой вариант — безналичный перевод с другого счёта:
Если есть з/п карта/частная/пенсионная гривневая карта — тогда можно через киоск выбрать Погашение кредита, или, если Пакет Оптимальный — Интернет банкинг (перевод на счёт).

На счёт, придирчивости к купюрам — на депозитном банкомате есть наклейка с номиналом купюр, которые принимают (как правило 10, 20, 50, 100, 200, 500 гривен), за одно пополнение от 33 до 90 купюр. Не принимает только смятые, порванные купюры.

Авалевскими депозитными АТМ давно не пользовался. А вот в «привате» довелось побывать и возпользоваться подобным терминалом. Из пачки денег (20 по 500) 2 купюры абсолютно целые не приняло. Наверное что-то заподозрил